Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $(y^{2} - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Bước 3.3.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Bước 3.3.1.2

Nhân $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ với $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 3.3.1.3.2

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 3.3.1.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 3.3.1.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Bước 3.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Bước 3.3.1.4.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Bước 3.4.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} x - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} (x - 1) = x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} (x - 1) = x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Viết lại $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Bước 3.4.6.2

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ với $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Bước 3.4.6.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ với $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Bước 3.4.6.3.2

Nâng $\sqrt{x - 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Bước 3.4.6.3.3

Nâng $\sqrt{x - 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Bước 3.4.6.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Bước 3.4.6.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Bước 3.4.6.3.6

Viết lại ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ ở dạng $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.4.6.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.4.6.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.6.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.6.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Bước 3.4.6.3.6.5

Rút gọn.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Bước 3.4.6.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Bước 3.4.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.